Produtos Notáveis

*Os conceitos sobre os produtos notáveis merecem muita atenção, pois seu uso facilita cálculos, reduz o tempo de resolução e agiliza o aprendizado. O conhecimento deles não quer dizer que não precisamos saber como fazer a conta, apenas que temos mais caminhos para chegar à solução final.
  
O nome notável já mostra sua importância. São como atalhos para uma resolução mais rápida, porém precisam ser decorados.

(a+b)² = a² + 2.a.b + b² (quadrado da soma de dois termos)

(a-b)² = a² - 2.a.b + b² (quadrado da diferença de dois termos)

 a²-b² = (a+b).(a-b) (diferença de quadrados)

(a+b)³ = a³ + 3.a².b + 3.a.b² + b³ (cubo da soma de dois termos)

(a+b)³ = a³ - 3.a².b + 3.a.b² - b³ (cubo da diferença de dois termos)

a³+b³ = (a+b).(a²-ab+b²) (soma de dois cubos)

a³-b³ = (a-b).(a²+ab+b²) (diferença de cubos)

(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2.a.b + 2.b.c + 2.a.c (quadrado da soma de três termos)

Equação de segundo grau
ax² + bx + c = a.(x-x1).(x-x2)

Oque é o x1 e x2? são as raizes da equação ax² + bx + c = 0

Fatoração

Fatoração simplesmente é o processo de se transformar soma em produto. Com ela conseguimos resolver situações complexas de um jeito mais simples.
Aⁿ = A³ 
Cortam-se as bases iguais e obtemos n = 3

Fator em evidência 
Vamos pegar o seguinte exemplo:

A²B +AB² = ?

É muito simples, para transformarmos isto em um produto, achamos primeiramente o fator comum.
Fator comum é como diz o nome, o que as duas equações tem em comum. As duas tem A e B, são fatores em comum.
Portanto vamos colocar da seguinte forma:

A²B +AB² = AB(A+B)

Fica mais simples de entender pensando que o fator em comum, no caso AB, deve ser multiplicado pelo que está dentro do parênteses. Então multiplicado pelo A é A²B pois bases iguais se soma o expoente e quando o expoente não está na formula todos sabemos que é 1, e AB multiplicado por B fica AB², então obtemos:

AB(A+B)

Agrupamento

AC+AD+BC+BD

Aqui, perceba que não temos um fator comum entre os quatro termos, então vamos separá-los agrupando os que tem fatores em comum.

Na primeira parte da expressão temos AC+AD que tem em comum o termo A. Na segunda parte temos em comum o termo B. 

Então separamos assim:

A(C+D)+B(C+D)

Porém ainda podemos simplificar mais, porque temos em comum C+D, então consideramos como um termo só, ficando assim:

(A+B)(C+D).

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Propriedades dos Determinantes

Dentre as propriedades dos determinantes, vejamos as seguintes:
Propriedade 1: se numa matriz quadrada multiplicamos os elementos de uma linha ou coluna, por um número X qualquer, então o determinante dessa matriz fica multiplicado por este número, como podemos ver abaixo.

Propriedade 2: se uma matriz quadrada possui pelo menos uma linha ou coluna de elementos iguais a zero, então seu determinante sempre será nulo.

Propriedade 3: se uma matriz quadrada possui duas linhas ou colunas iguais, então seu determinante é nulo.

Propriedade 4: se uma matriz quadrada possui duas linhas ou colunas proporcionais então seu determinante é nulo.

I - 3ª linha é 2x1ª linha



II - 2ª coluna é 3x1ª coluna




Propriedade 5: se uma matriz quadrada possui uma linha ou coluna como soma ou subtração de outras linhas ou colunas, então seu determinante é nulo.

1ª linha + 2ª linha = 3ª linha

3ª linha - 2ª linha = 1ª linha

Propriedade 6: se numa matriz quadrada trocamos entre si duas linhas ou colunas, então o seu determinante muda de sinal.

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O ciclo trigonométrico

Circunferência trigonométrica

Observe a imagem abaixo:

Essa é uma circunferência trigonométrica dividida em 4 quadrantes, sendo o 1 quadrante do ângulo 0º ao 90º, o quadrante 2 do ângulo 91º ao 180º, o 3 quadrante do 181º ao 270º e o 4 quadrante do 271º ao 360º.
Quando o ângulo é negativo o sentido começa do 0º para baixo ficando negativo, ou seja 4Q negativo é dos ângulos -1º ao -90º e assim por diante. E positivo segue normalmente.

Veja alguns exemplos:
1)Determine o quadrante a que pertence a extremidade P.
a)Em que quadrante situa-se a extremidade de 36º?

R: Quadrante IQ (quadrante 1) porque o quadrante 1 vai do 0º ao 90º.

b)Em que quadrante situa-se a extremidade de 300º?

R: Quadrante IV Q(quadrante 4) porque o quadrante 4 vai do 271º ao 360º.

c)Em que quadrante situa-se a extremidade de 135º?

R: Quadrante IIQ(quadrante 2) porque o quadrante 2 vai do 91º ao 180º.

d)Em que quadrante situa-se a extremidade de 220º?

R: Quadrante IIIQ(quadrante 3) porque o quadrante 3 vai do 181º ao 270º.

Agora que já aprendemos o básico do básico vamos dificultar um pouco, vamos determinar a extremidade de um arco que dê mais de uma volta na circunferência.
Exemplos:
a)Determine em qual quadrante situa-se a extremidade de um arco de 480º

R: O arco para no 120º que logo está no quadrante IIQ(2 quadrante, 91º-180º). Para resolver essa questão pegamos o valor do arco de 480º e dividimos por 360, detalhe, vamos usar o resto da divisão então não adianta fazer na calculadora. Então quantos 360 cabem em 480? 1 então coloca 1 na chave e depois fazemos 1 . 360 = 360 e subtrai 360 de 480: 480 - 360 = 120, e teremos 1 volta completa e mais 120º, ou seja a extremidade do arco de 480º é 120º IIQ.

b)Determine a extremidade de um arco de 1280º.

R: Sua extremidade é 200º no IIIQ(3 quadrante). Mesmo coisa feita na questão a.
cabe três 360 no 1280
3 . 360 = 1080
1280 - 1080 = 200º
Deu 3 voltas completas de 360º e parou no 200º IIIQ, é essa sua extremidade.

c)Determine a extremidade de um arco de -300º.
-300º + 360º = 60º

R: Sua extremidade é 60º quadrante IQ.
Quando temos um ângulo negativo menor que 360º basta somar o ângulo da questão mais 360. -300+360 = 60º, logo 60º está no quadrante 1(IQ).

d)Determine a extremidade de um arco de -400º.

R: A extremidade é 320º quadrante IV(4).
O que foi feito foi dividir -400 por 360, cabem um 360 no 400 então multiplicamos:
1 . 360 = 360
Depois subtraimos:
-400 - 360 = -40
E por final somamos 360 no resto da divisão:
-40 + 360 = 320º

e)Determine a extremidade de um arco deradianos.
Existem 2 passos para resolver essa questão:
1. Convertemos radianos para graus. Se você ainda não sabe, aprenda clicando aqui.

2. Agora pegamos o resultado que é 660º e dividimos por 360.

Cabe um 360 no 660 logo 1 . 360 = 360 e depois subtraimos 660 - 360 = 300º.

R: Sua extremidade é 300º que situa-se no quadrante IV(4).

Bons estudos!

Teorema de pitágoras

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Trigonometria no triângulo retângulo

Aqui aprenderemos sobre relações trigonométricas no triângulo retângulo.
Observe o triângulo abaixo:

Catetos: Formam o ângulo reto.
Hipotenusa: Que está oposta ao ângulo retro e também o maior lado do triângulo.

Como calcular o seno de um ângulo agudo

Na imagem o cateto oposto ao ângulo(alfa) é b, o aposto do ângulo

(beta) é C e a hipotenusa é sempre o a.

Como calcular o cosseno de um ângulo agudo

Na imagem o cateto adjacente ao ângulo
(alfa) é c, cateto adjacente a(beta) é b e a hipotenusa a.

Como calcular a tangente de um ângulo agudo

Cateto adjacente a(alfa) é c e cateto oposto é b. Cateto adjacente a(beta) é b e o oposto é c. Repare que é o inverso.

Veja um exemplo agora:

Foi feito o que aprendemos para achar os valores de sen, cos e tg. Agora observe uma coisa interessante:

Se você saber o valor de sen e cos,
 você seberá que o valor de sene cos vai ser o inverso.

Agora façam esse sozinhos aplicando as fórmulas e bons estudos.

Achar a medida do arco de uma circunferência

Para essa aula vocês precisarão ter conhecimento de como transformar graus em radianos, caso ainda não saibam cliquem aqui.
Vamos a aula, veja a fórmula abaixo:

Preste bem atenção no que representa cada letra da fórmula e vamos para o exemplo:
a) Determine em radianos a medida do arco AB de comprimento 20cm contido numa circunferência de diamêtro 20cm.

Explicando a questão:
Precisamos saber qual o ângulo do arco em radiano e temos os valores do comprimento do arco que é 20cm e do diamêtro que é 20cm também, logo sabemos que o seu raio é 10cm pois o diamêtro é 2 vezes o tamanho do raio.
E a resolução ficará assim:

Veja que apenas substituímos as letras pelo seus valores e fizemos a conta normalmente.
Agora veja outro exemplo:
b) Ache a medida do comprimento do arco abaixo:

Como podemos ver essa questão é um pouco diferente da anterior, ela não pede para achar o ângulo em radiano e sim o comprimento do arco(L). Para isso vamos aplicar o que vocês aprenderam em converter graus para radianos e depois resolver a questão, veja:

Observe que pegamos o valor do ângulo do arco(150º) e transformamos em radianos ficando e iremos usar esse valor agora ao invés do 150º, agora resolvemos da seguinte forma:

Apenas substituímos as letras novamente como no exercício anterior e no final depois que fizemos a divisão 150pi/6, fizemos uma multiplicação 25 . 3,14, no caso aqui(pi) vale 3,14 e não 180º, isso só se aplica quando vamos fazer a conversão de graus para radianos.

Pratiquem bastante esse e decorem ! bons estudos.

Converter graus para radianos

É muito simples também como o converter radianos para graus, veja o exemplo abaixo:

No exemplo acima pede para transformar 200º em radianos, para fazer isso devemos primeiro identificar o valor de(pi) que como dito é 180º e o valor que nós queremos descobrir que é 200º e chamamos de incógnita "x". Depois disso fazemos a multiplicação em cruz começando pelo "x": 180 . x = 180x e depois multiplicamos o pi: 200 . pi = 200pi. Agora colocamos o 180 em baixo do 200 e simplificamos por 2 que é o maior que da para simplificar e o resultado será.

OBS: O resultado da simplificação tem que ser números inteiros e positivos, quando não der mais deve parar.

Pratiquem bastante com outros valores que pegarão o jeito.

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Converter radianos para graus

Para converter radianos em graus é bem simples, veja o exemplo abaixo:

O valor de (pi) para converter radianos em grau é de 180º, ou seja trocando o "pi" por 180 iremos ter 3 . 180/2 como visto acima depois de fazer a multiplicação basta dividir por 2 e tera o resultado que é 270º.

Veja outro exemplo:

Foi feito a mesma coisa como no anterior só mudou os números. É isso, treinem bastante que é o melhor caminho para aprender e decorar.